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Cuando nos pidieron a los editores que escribiéramos algo para el Blog, me pregunté: “¿Esa no era una película de ciencia ficción con Steve McQueen?”
Pero la amenaza que vamos a examinar es otra llamada coronavirus, y en particular un tipo de modelo SIR, el modelo Kermack-McKendrick, el cual relaciona tres variables que describen los tres grupos en los que se divide una población durante una enfermedad contagiosa:
- S = el número de personas susceptibles (o propensas, según otras traducciones),
- I = el número de personas infectadas y
- R = el número de personas retiradas (recuperadas o fallecidas).
Cada uno de estos números cambia durante un tiempo t, por lo que usaremos la notación de funciones para ellos: S (t), I(t) y R(t). (Este análisis asume que no existe vacuna.)
El modelo SIR formula la manera en que la razón de cambio de cada variable se relaciona con las otras variables y, en consecuencia, cómo cambian los valores de las funciones con el tiempo.
Para esta explicación, necesitaremos un poco de contexto matemático.
En la escuela secundaria, aprendimos sobre la razón de cambio promedio. Si conduces un automóvil y recorres 200 millas en 4 horas, la razón de cambio promedio (en este contexto, la velocidad) es 50 millas por hora. Si estuvieras usando el control electrónico de velocidad constante, de manera que siempre viajaras a esta velocidad, la distancia d recorrida, en millas, sería directamente proporcional al tiempo, t, en horas, que dura el recorrido. En lenguaje llano, directamente proporcional significa que si se duplica el valor de entrada (tiempo), se duplica el valor de salida (distancia); si se triplica el valor de entrada, se triplica el valor de salida, y así sucesivamente. Para ser exactos, esto significa que el valor de salida es igual a una constante multiplicada por el valor de entrada: en este ejemplo, d = 50t (50 mph por t horas da un rendimiento de d millas).
Pero en realidad, cuando conduces por una autopista, puedes fijarte en el velocímetro y ver que tu velocidad siempre está cambiando. Lo que ves en el velocímetro en cualquier momento es la razón de cambio instantánea (de la distancia recorrida). Si fueras a estudiar cálculo, aprendería a calcular la derivada, o la razón de cambio instantánea, de muchas funciones, f(t). La notación f'(t) significa la derivada de f(t).
Por ejemplo, si dejamos caer una pelota desde un techo que tiene 100 pies de alto, su altura en pies después de t segundos está dada por h(t) = 100 – ½gt2. (¡Créeme! O al menos deberías saber que si sustituyes t por 0 segundos, obtienes 100 pies, y eso tiene sentido. Y cuanto mayor sea t, menor será h porque la altura disminuye con el tiempo.) La letra g es la aceleración “constante” debido a la gravedad. (No quiero ser irónico; solo que no es verdaderamente constante, pero se acerca). Luego tu amigo que sabe cálculo puede decirte que la velocidad instantánea h'(t) = -gt (pero ahora yo soy tu amigo, y yo te lo estoy diciendo). ¿Por qué tiene sentido esto? Primero, la velocidad es negativa porque la altura está disminuyendo. Segundo, la aceleración (g) es la razón del cambio de la velocidad. La aceleración aquí es constante, por lo que la velocidad es directamente proporcional al tiempo (el ejemplo original también tenía una razón de cambio constante, relacionando otras cantidades, de manera que obtienes el mismo tipo de ecuación).
Cuando termines de estudiar cálculo por un año, puedes estudiar ecuaciones diferenciales por un semestre. Ahora, en álgebra, estudiaste ecuaciones en que la variable que querías encontrar era un número desconocido. Pero en las ecuaciones diferenciales, la ‘variable’ que quieres encontrar es una función desconocida, y la ecuación de alguna manera incluye derivadas de la función desconocida (desde aquí puedo ver que estás frunciendo el rostro). Si te diera la ecuación anterior h'(t) = -gt como punto de partida y te preguntara: “¿Cuál es la función h(t)?”, esta ecuación sería una ecuación diferencial simple. La función h(t) = 100 – ½gt2 es una solución de la ecuación diferencial (puedes sustituir el 100 por otra constante para obtener otra solución).
El modelo SIR es un sistema de tres ecuaciones diferenciales con S'(t), l'(t) y R'(t) (las derivadas, o razones de cambio, de nuestras tres funciones). Este modelo relaciona la rapidez con la que el número de personas susceptibles, infectadas y retiradas va cambiando durante el tiempo con respecto al número dado de personas susceptibles e infectadas.
Examinemos estas ecuaciones diferenciales, no para ver si son correctas o para “verificarlas”, sino para ver si parecen ser conjeturas razonables. Comprobar que las ecuaciones y los resultados tienen sentido es algo que uno debería hacer cuando trabaja en casi cualquier problema matemático: tratar de comprender lo que de verdad está sucediendo, más allá de la mecánica de los cálculos. Este es un modelo SIR:
- S'(t) = -𝛽S(t)l(t)
- l'(t) = 𝛽S(t)l(t) – 𝛾l(t)
- R'(t) = 𝛾l(t)
Las letras griegas 𝛽 y 𝛾 representan constantes positivas.
Algunos comentarios generales: todas las personas comienzan siendo susceptibles. Estas personas se infectan o se mantienen susceptibles. Después de contagiarse, se recuperan o fallecen. Entonces, en cualquier momento, una fracción de los infectados se va convirtiendo en parte de la población retirada. El modelo asume que esto sucede de manera uniforme. En particular, asume que la razón a la que las personas pasan a ser población retirada (R'(t)) es directamente proporcional al número de personas infectadas () en ese momento. Esto es precisamente lo que representa (3), dicho en lenguaje llano.
Ahora bien, ¿con qué rapidez está cambiando la población susceptible (S'(t))? Esta razón es negativa porque el número de personas susceptibles siempre está disminuyendo (algunas se están infectando). Solo pueden infectarse mediante el contagio con personas actualmente infectadas. Si, por ejemplo, el número de personas infectadas se duplica, probablemente infectarán al doble de personas susceptibles. Por lo tanto, es razonable asumir que eS'(t) s directamente proporcional al número de personas actualmente infectadas (l(t)). Esto nos da las siguientes partes subrayadas de (1): S'(t) = -𝛽S(t)l(t).
¿Tiene sentido la parte que queda, S(t)? Si, por ejemplo, la población susceptible se redujera a la mitad de su tamaño, existiría la mitad de personas que podrían infectarse, por lo que parece razonable que se infectaría la mitad de la población (dejarían de ser población susceptible). Esto quiere decir que S'(t) es directamente proporcional a S(t). Esa es la otra parte de (1).
Como cualquier modelo matemático, este modelo incluye algunas conjeturas simplificadoras, incluyendo una población total constante. La ecuación (2) procede de (1), de (3) y de esta conjetura, como veremos más adelante.
Una reducción de 10 en P es un aumento de 10 en I. Una reducción de 5 en I es un aumento de 5 en R. Debido a que se asume que la población es constante, todos los cambios en cualquier momento suman un total de 0. Entonces, todas las razones de cambio suman un total de 0:
S'(t) + I'(t) + R'(t) = 0
→ l'(t) = -S'(t) – R'(t)
Ahora sustituye los valores en las ecuaciones (1) y (3) con lo anterior:
l'(t) = 𝛽S(t)l(t) – 𝛾l(t)
Esta es la ecuación (2).
No trataré de resolver el modelo SIR, o el sistema de ecuaciones diferenciales, pero sí simplificaré las ecuaciones para obtener aproximaciones numéricas de las tres funciones con el tiempo. (Este es un ejercicio matemático solo para ver lo que sucede, y no está basado en parámetros o datos reales. Simplemente crearé los valores para 𝛽 y 𝛾). Sea una semana nuestra unidad de tiempo. La letra griega se usa para indicar un cambio, y aquí representará el cambio de cierta cantidad durante una semana. Usaré esto para aproximar la razón de cambio instantánea (la derivada). Efectivamente, estoy asumiendo que los números cambian una vez por semana en vez de continuamente. Usaré Spas y I pas para indicar los números de “la semana pasada”.
Supongamos que y = ½ y 𝛽 = 0.0000001. Las aproximaciones a las ecuaciones diferenciales se muestran en los tres cambios a continuación. Observa que los tres cambios suman 0.
4. ΔS = -0.000001SpasIpas
5. ΔI = 0.000001SpasIpas – ½Ipas
6. ΔR = ½Ipas
Supongamos que empezamos a contar cuando 2 personas en Massachusetts se infectan y todos los demás son susceptibles (y consideramos el estado como un sistema cerrado). La tabla resultante a continuación representa lo que sucede sin medidas de precaución ni distanciamiento social y si, por el contrario, se deja que el virus se propague libremente.
| S | I | R | |
| Semana 0 | 7,000,000 | 2 | 0 |
Los cambios de la Semana 0 a la Semana 1 según nuestras aproximaciones en (4) a (6) serían:
ΔS = -0.000001(7,000,000)(2) = -14
ΔI = 0.000001(7,000,000)(2) – ½(2) = 13
ΔR = ½(2) = 1
Esto quiere decir que 14 personas se infectaron y luego 1 persona se recuperó (un neto de 13 infectados). Para obtener las cifras de la Semana 1, sumas estos cambios a los valores S, I y R de la Semana 0, respectivamente (sumar un cambio negativo es restar). Por ejemplo, S = 7,000,000 – 14 = 6,999,986. Ahora tenemos:
| S | I | R | |
| Semana 0 | 7,000,000 | 2 | 0 |
| Semana 1 | 6,999,986 | 15 | 1 |
El número en cada fila es la población total y es constante en este modelo. Ahora, toma los números de la Semana 1 y úsalos en las ecuaciones (4) a (6) para obtener los cambios de la Semana 1 a la Semana 2. Luego súmalos a los números de la Semana 1 para obtener los números de la Semana 2. Sigue haciendo esto para las filas subsiguientes (sería buena idea usar una hoja de cálculo de Excel). Todos estos son números de personas, y he redondeado algunos.
| S | I | R | |
| Semana 0 | 7,000,000 | 2 | 0 |
| Semana 1 | 6,999,986 | 15 | 1 |
| Semana 2 | 6,999,881 | 113 | 8 |
| Semana 3 | 6,999,090 | 847 | 65 |
| Semana 4 | 6,993,162 | 6352 | 488 |
| Semana 5 | 6,948,741 | 47,597 | 3664 |
| Semana 6 | 6,618,002 | 354,538 | 27,462 |
| Semana 7 | 4,271,669 | 2,523,602 | 204,731 |
En la siguiente semana, el cambio en el número de personas susceptibles será mayor que S, de acuerdo con el modelo. No podemos tener una cantidad negativa de personas, por lo que usamos ΔS = -Spas (todos son susceptibles de infectarse) y ΔI = SpasIpas – ½Ipas para esta semana.
| S | I | R | |
| Semana 7 | 4,271,669 | 2,523,602 | 204,731 |
| Semana 8 | 0 | 5,533,470 | 1,466,532 |
| Semana 9 | 0 | 2,766,735 | 4,233,267 |
| Semana 10 | 0 | 1,383,368 | 5,616,634 |
| Semana 11 | 0 | 691,684 | 6,308,318 |
| Semana 12 | 0 | 345,842 | 6,654,160 |
| Semana 13 | 0 | 172,921 | 6,827,081 |
| Semana 14 | 0 | 86,460 | 6,913,542 |
El número de personas infectadas en este momento se va reduciendo a la mitad y aproximándose a 0, mientras que el número de personas retiradas se va aproximando a la población total.
