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Por Michael Avidón, Editor de matemáticas
Expectativas de rendimiento (CCSS)
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| lección 2. |
| lección 3. |
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Esta lección cubre las siguientes partes de 7.RP.A.2:
Reconocen y representan relaciones de proporcionalidad entre cantidades.
- Deciden si dos cantidades se encuentran en una relación proporcional, por ejemplo, al evaluar relaciones equivalentes en una tabla …
- Identifican la constante de proporcionalidad (razón unitaria) en tablas, … y descripciones verbales de relaciones de proporcionalidad.
Este es el costo de magdalenas y roscas en una panadería
| Magdalenas | Roscas | |||
| Número | Costo | Número | Costo | |
| 1 | $3.50 | 1 | $1.50 | |
| 2 | $7.00 | 6 | $7.80 | |
| 3 | $10.50 | 12 | $13.20 | |
Calculemos las razones precio a cantidad para ver si hay una razón unitaria constante.
Para las magdalenas:
$3.50 ⁄ 1 = $3.50
$7.00 ⁄ 2 = $3.50
$10.50 ⁄ 3 = $_________
Las razones son iguales. Hay una razón unitaria constante de $3.50 por magdalena.
Para las roscas:
$1.50 ⁄ 1 = $1.50
$7.80 ⁄ 6 = $1.30
$13.20 ⁄ 12 = $__________
Las razones no son iguales. La razón por rosca no es constante.
La relación entre el precio y la cantidad de magdalenas es proporcional y la relación entre el costo y la cantidad de roscas no es proporcional.
Existe una relación proportional entre una cantidad y una cantidad x cuando la razón y ⁄ x es constante.
La razón se conoce como la constante de proporcionalidad, también conocida como la razón unitaria.
La constante de proporcionalidad para las magdalenas es 3.50.
| Distancia (millas) |
Tiempo (minutos) |
|---|---|
| 1 | 6 |
| 2 | 13 |
| 3 | 21 |
Ejemplo 1
Un miembro del equipo de atletismo de la escuela intermedia registra los tiempos de varias carreras en la tabla. ¿Es una esta una relación proporcional?
Si es así, ¿cuál es la constante de la proporcionalidad?
Solución:
Calcular las razones de tiempo a distancia para ver si la razón de minutos a millas es constante.
6 ⁄ 1 = 1
13 ⁄ 2 = 6.5
21 ⁄ ?? = ???
La razón no es constante. Esta no es una relación proporcional.
Ejemplo 2
| Máquina de ladrillos | |
|---|---|
| Tiempo (horas) |
Número de ladrillos |
| 2 | 1100 |
| 5 | 2750 |
| 8 | 4400 |
La tabla muestra la producción de una máquina de hacer ladrillos en una fábrica.
¿Es esta una relación proporcional? Si es así, ¿cuál es la constante de la proporcionalidad?
Solución:
Calcula las razones de número de ladrillos a tiempo para ver si la razón de ladrillos por hora es constante.
1100 ⁄ 2 = 550
2750 ⁄ 5 = ???
4400 ⁄ 8 = ???
Las razones son todas iguales. La cantidad de ladrillos es proporcional al número de horas. Hay una razón unitaria constante de 550 ladrillos por hora.
Nota que si una cantidad y es proporcional a una cantidad x, entonces, también se puede decir que la cantidad x es proporcional a la cantidad y. ¿Por qué es correcto decir esto? Si y ⁄ x es constante, entonces x ⁄ y
es constante (pero una constante diferente).
En el ejemplo 2 la constante de proporcionalidad es 550. Pero el número de horas también es proporcional a la cantidad de ladrillos y para esa relación la constante es 1 ⁄ 550 .
En muchos contextos, es más natural establecer la relación de una manera que de otra.
Ejemplo 3
Un jardinero compra rollos de césped de 2¢ por 4.5¢ por $8.10 cada uno.
| Área (pies cuadrados) |
Costo |
|---|---|
| 90 | $81 |
| 180 | $162 |
| 360 | $324 |
Haz una table para el costo de cubrir 90, 180 y 360 pies cuadrados.
¿Hay una relación proporcional entre el costo y el área? Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
Solución:
Sí, el costo es proporcional al área. Si divides el costo entre el número de pies cuadrados, cada razón sale a $______/pie cuadrado (o ____¢/pie cuadrado). Esta es la constante de proporcionalidad.
Ejemplo 4
Un jardinero necesita césped para crear un césped cuadrado. El área depende de la longitud lateral del cuadrado. Haz una tabla para el área cuando la longitud lateral es de 10, 15 y 20 pies.
¿Hay una relación proporcional entre el área y la longitud lateral? Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
| Longitud (pies) |
Área (pies cuadrados) |
|---|---|
| 10 | 100 |
| 15 | 225 |
| 20 | 400 |
Solución:
Calcula las razones de área a longitud:
100 ⁄ 10 = 10
225 ⁄ 15 = 15
400 ⁄ 20 = 20
Las razones [son/no son] constantes. Esta [es/no es] una relación proporcional.
Ejemplo 5
| Carne molida | |
|---|---|
| Peso (lbs.) |
Costo |
| 2.2 | $8.25 |
| 3.4 | |
| $14.25 | |
La tabla representa una relación proporcional entre el costo de la carne molida y su peso.
Determina los dos números que faltan.
Solución:
Primero, halla la constante de proporcionalidad: $8.25 ⁄ 2.2 = $3.75.
Entonces, la razón unitaria es $3.75 por libra.
Para la segunda hilera de la tabla:
costo ⁄ 3.4 = $3.75 → costo = ______ X $________ = $__________
For the third row in the table:
$14.25 ⁄ peso = $3.75 → $14.25 = $3.75 X peso
→ peso = $???? ⁄ $????/lb. = ???? lb.
Ejercicios para la Lección 1
¿Representa la table una relación de proporcionalidad?
Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
| x | y |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 4 | 6 |
| 6 | 8 |
2.
| x | y |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 5 | 15 |
| 8 | 24 |
3.
| x | y |
|---|---|
| 2 | 2.4 |
| 6 | 7.2 |
| 9 | 10.8 |
4.
| Producción | |
|---|---|
| Tiempo (horas) | Aparatos |
| 3 | 1005 |
| 5 | 1675 |
| 7 | 2345 |
5.
| Manzanas | |
|---|---|
| Peso (lbs.) | Costo |
| 1 | $1.50 |
| 3 | $4.00 |
| 5 | $5.50 |
6.
| Camisetas | |
|---|---|
| Número | Costo |
| 2 | $23 |
| 4 | $46 |
| 5 | $57.50 |
7. Una artista compra lienzo sin procesar en rollos que cortará y usará para hacer pinturas al óleo. Cada rollo tiene 90 pies cuadrados de lienzo y cuesta $54.
¿Hay una relación proporcional entre el costo y el área? Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad o razón unitaria?
8. Un plomero cobra una tarifa fija de $50 más $60 por hora de trabajo. ¿Hay una relación proporcional entre el costo y el tiempo? Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
9. Hay 8 onzas fluidas en una taza, 2 tazas en una pinta, 2 pintas en un cuarto y 4 cuartos en un galón. ¿Hay una relación proporcional entre onzas y galones? Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
Cada tabla representa una relación proporcional. Completa los números que faltan.
10.
| x | y |
|---|---|
| 10 | 25 |
| 16 | 40 |
| 18 | 45 |
11.
| x | y |
|---|---|
| 5 | 2 |
| 8 | 3.2 |
| 12 | 4.8 |
12.
| x | y |
|---|---|
| 9 | 6 |
| 10 | 20/3 |
| 12 | 8 |
13. Problema avanzado:
Imagina que hay una relación proporcional entre la cantidad z y la cantidad y, y otra relación proporcional entre la cantidad y y la cantidad x. ¿Debe existir una relación proporcional entre la cantidad z y la cantidad x? Explica por qué o da un contraejemplo.
Traducción por Victory Productions