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Lección 2: Relaciones proporcionales

A tray of cupcakes.

Courtesy of Wikimedia Commons

Por Michael Avidón, Editor de matemáticas

Ecuaciones Para estudiantes

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Más en esta serie
lección 1.
lección 3.
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Expectativas de rendimiento (CCSS)

Esta lección cubre las siguientes partes de 7.RP.A.2:

Reconocen y representan relaciones de proporcionalidad entre cantidades.

  1. Identifican la constante de proporcionalidad (razón unitaria) en … ecuaciones … de relaciones de proporcionalidad.
  2. Representan las relaciones de proporcionalidad mediante ecuaciones. Por ejemplo, si el costo total t es proporcional a la cantidad n de cosas compradas al precio constante p, la relación entre el costo total y la cantidad de cosas puede expresarse como t = pn.

En la lección anterior viste la siguiente relación:

Magdalenas
Número Costo
1 $3.50
2 $7.00
3 $10.50

Viste que la razón era constante $3.50 por magdalena. Si C es el costo de las magdalenas, y n es el número de magdalenas, entonces la razón se representa con Cn . Entonces
Cn = 3.50

Multiplicar ambos lados por n da la ecuación . Esto representa la relación proporcional. Por ejemplo, si, entonces . O sea, el costo de ___ magdalenas es $_________, como se ve en la tercera hilera de la tabla.

En general, si hay una relación propocional entre una cantidad y y una cantidad x con una constante de proporcionalidad k, entonces yx = k, lo que implica y = kx

Una relación propocional entre una cantidad y y una cantidad x que tiene una constante de proporcionalidad k se representa con la ecuación y = kx.

Si una ecuación de diferente forma se puede volver a escribir como se ve arriba, entonces es una relación proporcional. Si no se puede volver a escribir de esa forma, entonces no es una relación proporcional.

Podemos tomar cualquier tabla o descripción verbal de una relación proporcional y convertirla en una ecuación. Solo se necesita determinar primero la constante de proporcionalidad o razón unitaria.

Ejemplo 1

Máquina de ladrillos
Tiempo
(horas)
Número
de ladrillos
2 1100
5 2750
8 4400

En la lección anterior viste que la producción de esta máquina de hacer ladrillos sigue una relación proporcional. Escribe una ecuación para representar la relación.

Solución:

Sea N = el número de ladrillos y t = el tiempo en horas. La razón unitaria es _____ ladrillos por hora. La ecuación es N = 550t.

Ejemplo 2

Una rueda de 10 libras de queso gouda se vende por $64. Escribe una equación que relacione el costo al peso del queso.

Solución:

El queso se vende por $_________ por libra. Sea C = el costo del queso en dólares y p = el peso del queso en libras. Entonces, la ecuación es C = 6.4p.

Recuerda que la relación proporcional funciona de “ambas maneras”. Así que, en el ejemplo de arriba, no solo es C proporcional a p, pero p también es proporcional a C. Puedes dividir ambos lados de la ecuación anterior entre 6.4 para escribir la relación de la otra forma:

164C = p → p = 0.15625C

Ejemplo 3

La ecuación K = 0.4536L representa la relación entre libras, L, y kilogramos, K. Identifica la constante de proporcionalidad y da una descripción verbal de la relación. Da también una descripción verbal de la relación opuesta.

La ecuación representa la relación entre libras, L, y kilogramos, K. Identifica la constante de proporcionalidad y da una descripción verbal de la relación. Da también una descripción verbal de la relación opuesta.

Solución:

La constante de proporcionalida es 0.4536. Esto significa que por cada libra hay 0.4536 kilogramos. Para invertir la relación, se necesita la reciprocidad de la constante. En este caso, se trata de 2.2. Así que por cada kilogramo, hay alrededor de 2.2 libras.

Ejemplo 4

x y
3 18
5 30
7 42

Represents y = 6x como una tabla, con hileras para x = 3, 5 y y =42.

Solution:

Cuando x = 3, y = 6(3) = _____.

Cuando x = 5, y = 6(____) = ______.

Cuando y = 42, 42 = 6x → x = 7.

Ejercicios para la Lección 2

Representa cada relación proporcional con una ecuación.
1.

Area, A
(pies
cuadrados)
Costo, C
90 $81
180 $162
360 $324

2.

Producción
Tiempo, t (hours) Aparatos, a
3 1005
5 1675
7 2345

3.

Camisetas
Número, n Cost, C
2 $23
4 $46
5 $57.50

4. Una artista compra lienzo sin procesar en rollos. Cada rollo tiene 90 pies cuadrados de lienzo y cuesta $54. Sea C = el costo del lienzo en dólares y A = el área del lienzo en pies cuadrados.

5. Un paquete de 3 libras de carne molida cuesta $12. Sea C = el costo de la carne molida en dólares y p = el peso de la carne molida en libras.

6. Un albañil está construyendo un muro de ladrillos. Hasta ahora, ha colocado 5 hileras de ladrillos (y cemento) que alcanzan una altura de 45 cm. Sea n = el número de hileras de ladrillos y h = la altura del muro en centímetros

Para cada ecuación, (a) representa la relación de proporcionalidad mediante una tabla con valores de entrada de 1, 2 y 3, y (b) escribe la ecuación para la relación opuesta.

7. y = 4x
8. y = 0.2x
9. y = x3
10. ¿Representa cada ecuación una relación proporcional?
(a) y = x + 5              (b) y = x2                  (c) y = 2(x – 5) + 10
11. La ecuación reprsenta la relación entre pulgadas, x, y centímetros, y. Da una descripción verbal de la relación.
12. La ecuación y = 33.8x representa la relación entre litros, x, y onzas fluidas, y. Da una descripción verbal de la relación.

13. Problema avanzado:

Mientras que la constante de proporcionalidad es normalmente positiva en problemas del mundo real, también puede ser negativa. Sea h = el número de horas después de la medianoche, y T = la temperatura en grados Celsius. Explica qué significa la relación en términos del mundo real a la media noche y de ahí en adelante.

SIGUIENTE LECCIÓN: Sigue con la Lección 3 oo vuelve a la Lección 1

Traducción por Victory Productions

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