Lección 3: Relaciones proporcionales

Por Michael Avidón, Editor de matemáticas

Gráficas Para estudiantes

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Expectativas de rendimiento (CCSS)

Esta lección cubre las siguientes partes de 7.RP.A.2:

Reconocen y representan relaciones de proporcionalidad entre cantidades.

1. Deciden si dos cantidades se encuentran en una relación proporcional, por ejemplo, … al trazar una gráfica en un plano de coordenadas y al observar si la gráfica es una línea recta desde su origen.
2. Identifican la constante de proporcionalidad (razón unitaria) en … gráficas de relaciones de proporcionalidad.
3. Explican lo que un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional significa en términos de la situación, prestando atención especial a los puntos (0, 0) y (1, r) en donde r es la razón unitaria.

En las dos lecciones anteriores se definieron relaciones proporcionales y se representaron mediante tablas, descripciones verbales y ecuaciones. En esta lección vas a aprender a representar relaciones proporcionales en gráficas y a reconocer gráficas que representan relaciones proporcionales.

Gráficas de relaciones proporcionales

Sabes que por cada cuarto de líquido hay dos pintas. La razón de pintas a cuartos siempre es 2. Esta es una relación proporcional y 2 es la constante de proporcionalidad.

Si x = el número de cuartos de agua en un recipiente y y = el número de pintas de agua en ese reciepiente, entonces, esta relación se representa con la tabla a la derecha:

x	y
0	0
1	2
2	4
?	6
4	?

Cada hilera, o par ordenado de números (x, y), puede representarse con un punto en el plano de coordenadas, como se muestra a la derecha.

Nota que los puntos se encuentran en una semirrecta y que la semirrecta comienza en el origen. Por lo general, lo siguiente es verdadero.

La gráfica de una relación proporcional es una recta que atraviesa el origen o una semirrecta cuyo extremo es el origen.

Los problemas del mundo real generalmente tendrán valores no negativos para ambas variables. En tal caso, la gráfica será un semirrecta en el primer cuadrante. Pero en otros casos, la gráfica puede ser una recta. ¿Por qué se encuentran los puntos en una recta? Examina la semirrecta a continuación.

Por cada aumento de 1 en el valor de x, el aumento en y es el mismo. Llamemos a este aumento k. Así que, si la semirrecta empieza en (0,0), pasará por (1,k), (2,2k), (3,3k), y así sucesivamente. Estos puntos resuelven la ecuación y = kx. Esto representa una relación proporcional, donde k es la constante de proporcionalidad.

A la inversa, toda relación proporcional está reprsentada por una ecuación de la forma , y por tanto por una semirrecta (o si se permiten valores negativos, una recta).

Independientemente del valor de k, el par ordenado resuelve la ecuación, así que, la semirrecta o recta debe atravesar el origen.

Ejemplo 1

Representa la ecuación de las magdalenas, C = 3.5n, de la lección anterior con una gráfica.

Solución: Haz una tabla de valores que resuelvan la ecuación.

Magdalenas
Número	Costo
0	$0
1	$3.50
2	$7.00
3	$10.50
4	$
5	$

Estos son puntos en la gráfica. Traza una semirrecta a través de los puntos.

Nota que solo los puntos resaltados de esta gráfica corresponden a magdalenas reales, ya que no se venden fracciones de magdalenas. En la gráfica de los cuartos y las pintas, todos los puntos en la semirrecta representan valores reales.

Ecuaciones a partir de gráficas

Si te dan la gráfica de una relación proporcional, puedes determinar su ecuación correspondiente.

Ejemplo 2

Se muestra la gráfica del número de juguetes producidos en una fábrica en el transcurso de varias horas. ¿Qué representan los puntos (0,0) y (3,90)? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad y cuál la ecuación que representa la gráfica?

Se muestra la gráfica del número de juguetes producidos en una fábrica en el transcurso de varias horas. ¿Qué representan los puntos y ? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad y cuál la ecuación que representa la gráfica?

Solución:

La gráfica es una semirrecta que empieza en el origen, así que representa una relación proporcional. El punto (0,0) representa el hecho de que cuando no ha pasado tiempo (0 horas), no se han producido juguetes (0 juguetes). El punto (3,90) reprsenta el hecho de que cuando han pasado __ horas, se han producido ____ juguetes. La razón unitaria, o constante de proporcionalidad, es 90/3 = _____  juguetes por hora. Esto se puede calcular usando las coordenadas de cualquier punto de la gráfica (fuera de (0,0)), porque la razón y/x es constante (definición de relación proporcional). La ecuación para esta gráfica es y = 30x.

Esta gráfica contiene el punto (1,30). Esto representa el hecho de que después de 1 hora, se han producido 30 juguetes. Estas corrdenadas muestran directamente la razón unitaria. En general, el punto (1,r) en la gráfica de una relación proporcional muestra que la razón unitaria es r.

Determinar si una relación es proporcional

Si la gráfica de una relación es una recta o semirrecta que pasa a través del origen, la relación es proporcional. Si es una recta o semirrecta que no pasa a través del origen, no es proporcional. Además, si no es linear, no es proporcional.

Ejemplo 3

¿Qué gráficas representan relaciones proporcionales?

Solución:

Todas las tres gráficas pasan a través del origen (o sea, el punto (__,__)). La Gráfica C es también una recta a line, así que representa una relación proporcional.

La Gráfica A se compone de segmentos de recta, pero no es una semirrecta ni una recta. La Gráfica B es una curva. Así que, ninguna de estas es una relación proporcional.

Puedes empezar con una tabla o descripción verbal y producir una gráfica. Luego, puedes determinar, a partir de la gráfica, si la relación es proporcional.

Ejemplo 4

¿Representa la tabla una relación proporcional?

Solución:

x	y
2	2
4	3
6	4
8	5

Después de graficar los puntos, puedes ver que se encuentran en una recta. Traza la recta y extiéndela hasta el eje y. Puedes ver que la intersección con y no es __________. Por tanto, no es una relación proporcional.

Ejemplo 5

Un plomero cobra $60 por la primera hora de trabajo y $40 por cada hora de trabajo adicional. ¿Es proporcional la relación entre el costo total y el número de horas?

Solución:

La primera hora de trabajo se representa con el punto (1,60). Por cada aumento de 1 en el valor de x, el valor de y aumenta en 40. Este mismo aumento hace que los puntos queden en una recta. Sin embargo, como puedes ver en la gráfica, la recta no pasa por el origen (la intersección con y es el punto (__,____)). Por tanto, la relación no es proporcional.

Ejercicioa para la Lección 3

Haz las gráficas de las ecuaciones dadas.
1. y = 3x, donde x = el número de lbs. de carne molida, y y = el precio en $
2. y = 0.5x, sin restricciones en las variables

 

 

 

 

 

 

Haz la gráfica para cada tabla y determina si la relación es proporcional.

3.

x	y
2	2.5
4	5
8	10
10	12.5

4.

x	y
1	1
2	3
3	5
4	7

 

Haz la gráfica para cada descripción y determina si la relación es proporcional.

5. Un tutor cobra $50 por una hora, $90 por dos horas y $120 por tres horas.

6. Se vende espárrago a $2.50 por libra.

7. Halla la ecuación para cada relación proporcional en los ejercicios 3 a 6.

8.
La gráfica muestra la relación entre el tiempo, x, en minutos, que alguien corre en una cinta de correr y la distancia, y, en millas, que corren . Explica el significado de los puntos (4, 0.4), (1, 0.1)  y (0,0) en este contexto.

¿Se representa una relación proporcional en cada una de las gráficas a continuación?
9.

10. 11.

12.

13. Problema avanzado:

Una recta atraviesa el punto (a, b), donde ambas coordenadas son positivas. Si la recta representa una relación proporcional ¿cuál es su ecuación? Explica.

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Traducción por Victory Productions