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Por Michael Avidón, Editor de matemáticas
Estas lecciones cubren los siguientes Estándares Estatales Comunes (CCSS) para 7.0 grado:
- 7.RP.A.2: Reconocen y representan relaciones de proporcionalidad entre cantidades.
- Deciden si dos cantidades se encuentran en una relación proporcional, por ejemplo, al evaluar relaciones equivalentes en una tabla o al trazar una gráfica en un plano de coordenadas y al observar si la gráfica es una línea recta desde su origen.
- Identifican la constante de proporcionalidad (razón unitaria) en tablas, gráficas, ecuaciones, diagramas, y descripciones verbales de relaciones de proporcionalidad.
- Representan las relaciones de proporcionalidad mediante ecuaciones. Por ejemplo, si el costo total t es proporcional a la cantidad n de cosas compradas al precio constante p, la relación entre el costo total y la cantidad de cosas puede expresarse como t = pn.
- Explican lo que un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional significa en términos de la situación, prestando atención especial a los puntos (0, 0) y (1, r) en donde r es la razón unitaria.
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Prerrequisitos
Al igual que en cualquier otra lección de matemáticas, se asume conocimiento de cierta cantidad de material y vocabulario básicos (enseñados antes de 7.0 grado). Específicamente, se asume que el estudiante está familiarizado con el siguiente material.
- La definición de razón y razón unitaria
- Escribir ecuaciones simples para representar relaciones (p. ej., y = 5x)
- Reescribir ecuaciones multiplicando o dividiendo ambos lados por el mismo número.
- Graficar puntos en un plano de coordenadas
- Vocabulario de grados anteriores: plano de coordenadas, par ordenado, origen, semirrecta, eje de x, eje de y
Información general
Un tema recurrente en matemáticas es la idea de representar algo de varias maneras. En estas lecciones se estudian las relaciones entre dos cantidades (tales como el costo de un un producto y la cantidad comprada). Estas relaciones se representan mediante descripciones verbales, tablas de dos columans, ecuaciones y gráficas.
(Nota: el uso de la palabra deciden en la parte a. de los estándares es incorrecta. La palabra determinan debe usarse en su lugar. Alguien decide que ropa ponerse, pero determina la solución de un problema de matemáticas)
Este es un vistazo general del material.
Las lecciones contienen algunos ejercicios con espacios en blanco que los estudiantes deben completar. Las respuestas que faltan se incluyen aquí.
Lección 1
Para establecer la definición de relaciones proporcionales, se dan dos ejemplos de relaciones entre dos cantidades. Una de ellas es una relación proporcional. La otra no lo es.
Página 1 – espacios en blanco: $3.50; $1.10
Los ejemplos 1 y 2 presentan cantidades en tablas. Simplemente se requiere calcular las razones de una cantidad sobre la otra para ver si las proporciones tienen el mismo valor. Los ejemplos 3 y 4 requieren que el estudiante cree tablas a partir de descripciones verbales y que luego verifique las razones para ver si existe una relación proporcional.
El ejemplo 5 es diferente pues se sabe desde el principio que existe una relación proporcional y el estudiante debe completar los valores que faltan en la tabla.
Página 2 – espacios en blanco: 3, 7; 550, 550
Página 3 – espacios en blanco: 0.90, 90; no son, no es; 3.4, 3.75, 12.75, 14.25, 3.75, 3.8
Los primeros seis ejercicios son similares a los primeros dos ejemplos. Los ejercicios 7 a 9 son similares a los ejemplos 3 y 4. Los ejercicios 10 a 12 son similares al ejemplo 5.
Lección 2
La lección empieza con un ejemplo de una relación proporcional y explica cómo escribirla en forma de ecuación. Luego muestra que se puede escribir una ecuación similar (y = kx) para cualquier relación proporcional.
Página 1 – espacios en blanco: 3, 10.50
En los primeros dos ejemplos se muestran relaciones proporcionales representadas por una tabla y una descripción verbal, respectivamente, y se piden las ecuaciones. En los ejemplos 3 y 4 se dan las ecuaciones y se piden la descripción verbal y la tabla. El propósito es entender que se puede representar la misma relación de diferentes maneras y saber cómo ir de una a la otra.
Página 2 – espacios en blanco: 550; 6.40; 18, 5, 30
Los primeros 6 ejercicios imitan los primeros dos ejemplos. Los ejercicios 7 a 12 corresponden más que todo a los ejemplos 3 y 4. La información en la parte de abajo de la página 1 y la mitad de la página 2 sobre ecuaciones para relaciones proporcionales y la relación opuesta también se necesitan para hacer los últimos ejercicios.
Lección 3
En este momento los estudiantes saben diferentes maneras de representar relaciones proporcionales. Mediante un procedimiento sencillo de trazar puntos, los estudiantes descubren que estos puntos se encuentran en una recta que atraviesa el origen (que es el punto (0, 0)).
Página 1 – espacios en blanco: 3, 8
La página 2 empieza con una explicación de por qué los puntos se encuentran en un recta o una semirrecta (una recta continúa en ambas direcciones indefinidamente y una semirrecta es la “mitad” de una recta). En el ejemplo 1 se empieza con una ecuación, se crea una tabla (como en la Lección 2), y luego se hace la gráfica de la relación. Establece que no todos los puntos en esta gráfica corresponden a valores del mundo real
Página 2 – espacios en blanco: 14, 17.50
En el ejemplo 2 se da la gráfica y se le pide al estudiante que la interprete en términos del contexto. También se le pide que halle la ecuación de la relación proporcional.
Página 3 – espacios en blanco: 3, 90, 30
El propósito del ejemplo 3 es clarificar qué gráficas representan y no representan relaciones proporcionales. Los ejemplos 4 y 5 muestran relaciones que son “lineares” pero no son “proporcionales.”
Página 4 – espacios en blanco: 0, 0; origen; 0, 20
Los dos primeros ejercicios son similares al ejemplo. 1 Los dos siguientes son similares al ejemplo 4. Los ejercicios 5 y 6 son similares al ejemplo 5. Los ejercicios 7 y 8 son más que todo similares al ejemplo 2 (Vuelve a la Lección 2 para ver más ejemplos de cómo hallar ecuaciones). Los ejercicios 9 a 12 son como el ejemplo 3.
Ejercicios con respuestas
Lección 1
¿Representa la tabla una relación proporcional?
Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
1. Responder: No
| x | y |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 4 | 6 |
| 6 | 8 |
2. Responder: Si; 3
| x | y |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 5 | 15 |
| 8 | 24 |
3. Responder: Si; 1.2
| x | y |
|---|---|
| 2 | 2.4 |
| 6 | 7.2 |
| 9 | 10.8 |
4. Responder: Si; 335
| Producción | |
|---|---|
| Tiempo (horas) |
Aparatos |
| 3 | 1005 |
| 5 | 1675 |
| 7 | 2345 |
5. Responder: No
| Manzanas | |
|---|---|
| Peso (lbs.) | Costo |
| 1 | $1.50 |
| 3 | $4.00 |
| 5 | $5.50 |
6. Responder: Si; $11.50
| Camisetas | |
|---|---|
| Numero | Costo |
| 2 | $23 |
| 4 | $46 |
| 5 | $57.50 |
7. Una artista compra lienzo sin procesar en rollos que cortará y usará para hacer pinturas al óleo. Cada rollo tiene 90 pies cuadrados de lienzo y cuesta $54.
¿Hay una relación proporcional entre el costo y el área? Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad o razón unitaria? Responder: sí; $0.60/pies cuadrados
8. Un plomero cobra una tarifa fija de $50 más $60 por hora de trabajo. ¿Hay una relación proporcional entre el costo y el tiempo? Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? Responder: no
9. Hay 8 onzas fluidas en una taza, 2 tazas en una pinta, 2 pintas en un cuarto y 4 cuartos en un galón. ¿Hay una relación proporcional entre onzas y galones? Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? sí; 128 oz./galón
Cada tabla representa una relación proporcional. Completa los números que faltan.
10.
| x | y |
|---|---|
| 10 | 25 |
| 16 | 40 |
| 18 | 45 |
11.
| x | y |
|---|---|
| 5 | 2 |
| 8 | 3.2 |
| 12 | 4.8 |
12.
| x | y |
|---|---|
| 9 | 6 |
| 10 | 20/3 |
| 12 | 8 |
13. Problema avanzado:
Imagina que hay una relación proporcional entre la cantidad z y la cantidad y, y otra relación proporcional entre la cantidad y y la cantidad x. ¿Debe existir una relación proporcional entre la cantidad z y la cantidad x? Explica por qué o da un contraejemplo.
Responder: Sí. La razón es constante y la razón es constante. Por consiguiente, su producto , es constante. Esto indica que hay una relación proporcional entre z y x.
Lección 2
Representa cada relación proporcional con una ecuación.
1. Responder: C = 0.9A
| Area, A (pies cuadrados) |
Costo, C |
|---|---|
| 90 | $81 |
| 180 | $162 |
| 360 | $324 |
2. Responder: w = 335t
| Produccion | |
|---|---|
| Tiempo, t (horas) | Aparatos, w |
| 3 | 1005 |
| 5 | 1675 |
| 7 | 2345 |
3. Responder: C = 11.5n
| Camisetas | |
|---|---|
| Numero, n | Costo, C |
| 2 | $23 |
| 4 | $46 |
| 5 | $57.50 |
4. Una artista compra lienzo sin procesar en rollos. Cada rollo tiene 90 pies cuadrados de lienzo y cuesta $54. Sea C = el costo del lienzo en dólares y A = el área del lienzo en pies cuadrados.
Responder: C = 0.6A
5. Un paquete de 3 libras de carne molida cuesta $12. Sea C = el costo de carne molida en dólares y p = el peso de la carne molida en libras.
Responder: B = 4w
6. Un albañil está construyendo un muro de ladrillos. Hasta ahora, ha colocado 5 hileras de ladrillos (y cemento) que alcanzan una altura de 45 cm. Sea n = el número de hileras de ladrillos y h = la altura del muro en centímetros.
Responder: h = 9n
Para cada ecuación, (a) representa la relación de proporcionalidad mediante una tabla con valores de entrada de 1, 2 y 3, y (b) escribe la ecuación para la relación opuesta.
7. y = 4x
| x | y |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 8 |
| 3 | 12 |
Responder: x = ¼y
8. y = 0.2x
| x | y |
|---|---|
| 1 | 0.2 |
| 2 | 0.4 |
| 3 | 10.6 |
Responder: x = 5y
9. y = x ⁄ 3
| x | y |
|---|---|
| 1 | ⅓ |
| 2 | ⅔ |
| 3 | 1 |
Responder: x = 3y
10. ¿Representa cada ecuación una relación proporcional?
(a) y = x + 5 Responder: no (b)y = x 2 Responder: no (c) y = 2(x – 5) + 10 Respnder: si
11. La ecuación y = 2.54x reprsenta la relación entre pulgadas, x, y centímetros, y. Da una descripción verbal de la relación.
Responder: Por cada pulgada, hay 2.54 centímetros.
12. La ecuación y = 33.8x representa la relación entre litros, x, y onzas fluidas, y. Da una descripción verbal de la relación.
Responder: Por cada litro, hay 33.8 onzas fluidas.
13. Problema avanzado: Mientras que la constante de proporcionalidad es normalmente positiva en problemas del mundo real, también puede ser negativa. Sea h = el número de horas después de la medianoche, y T = la temperatura en grados Celsius. Explica qué significa la relación en términos del mundo real a la media noche y de ahí en adelante.
Responder: At midnight, the temperature is 0°C. Thereafter, the temperature is dropping by 2°C per hour.
Lección 3
Haz las gráficas de las siguientes ecuaciones.
1. y = 3x, donde el número de lbs. de carne molida, y el precio en $.
2. y = 0.5x, sin restricciones en las variables
Responder: Las gráficas para los ejercicios 1 a 6 se dan más abajo.
Haz la gráfica para cada tabla y determina si la relación es proporcional.
3. Responder: proporcional
| x | y |
|---|---|
| 2 | 2.5 |
| 4 | 5 |
| 8 | 10 |
| 10 | 12.5 |
4. Responder: no proporcional
| x | y |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
| 4 | 7 |
Haz la gráfica para cada descripción y determina si la relación es proporcional.
5. Un tutor cobra $50 por una hora, $90 por dos horas y $120 por tres horas.
Responder: no proporcional
6. El espárrago se vende a $2.50 por libra.
Responder: proporcional
7. Halla la ecuación para cada relación proporcional en los ejercicios 3 a 6.
Responder: Para el ejercicio 3: y = 1.25x Para el ejercicio 6: y = 2.5x
8. La gráfica muestra la relación entre el tiempo, x, en minutos que alguien corre en una cinta de correr y la distancia, y, en millas, que corren . Explica el significado de los puntos (4, 0.4), (1,0.1) y (0,0), en este contexto.
Responder:
La persona corre 0.4 de milla en 4 minutos, una razón unitaria de 0.1 millas por minuto, y sin distancia al comienzo.
¿Se representa una relación proporcional en cada una de las gráficas a continuación?
9. Responder: si 
10. Responder: no 
11. Responder: no 
12. Responder: no 
13. Problema avanzado:
Una recta atraviesa el punto , donde ambas coordenadas son positivas. Si la recta representa una relación proporcional ¿cuál es su ecuación? Explica.
Responder: La razón de salida a entrada es la constante de proporcionalidad. Esto es b ⁄ a, por tanto, la ecuación es y = b ⁄ ax.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Traducción por Victory Productions